Проективный модуль

Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.

Определение

Модуль [math]\displaystyle{ P }[/math] над кольцом [math]\displaystyle{ A }[/math] (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма [math]\displaystyle{ g\colon P\to M }[/math] и эпиморфизма [math]\displaystyle{ f\colon N\to M }[/math] существует такой гомоморфизм [math]\displaystyle{ h\colon P\to N }[/math], что [math]\displaystyle{ g = fh }[/math], то есть данная диаграмма коммутативна:

Простейший пример проективного модуля — свободный модуль [math]\displaystyle{ F }[/math]. В самом деле, пусть [math]\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots, x_i,\ldots }[/math] — элементы базиса модуля [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ g(x_i) = y_i }[/math]. Поскольку [math]\displaystyle{ f }[/math] — эпиморфизм, можно найти такие [math]\displaystyle{ z_i }[/math], что [math]\displaystyle{ f(z_i) = y_i }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ h }[/math] можно определить, задав его значения на векторах базиса как [math]\displaystyle{ h(x_i) = z_i }[/math].

Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.

В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль [math]\displaystyle{ P }[/math] проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль [math]\displaystyle{ K }[/math], что прямая сумма [math]\displaystyle{ F = P \oplus K }[/math] свободна. В самом деле, если [math]\displaystyle{ P }[/math] есть компонента прямой суммы [math]\displaystyle{ F }[/math], которая является свободным модулем, и [math]\displaystyle{ g\colon P\to M }[/math] — гомоморфизм, то [math]\displaystyle{ gp_1 \colon F\to M }[/math] тоже гомоморфизм ([math]\displaystyle{ p_1 }[/math] — проекция прямой суммы [math]\displaystyle{ F }[/math] на первое слагаемое [math]\displaystyle{ P }[/math]), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм [math]\displaystyle{ h_1\colon F\to N }[/math], такой, что [math]\displaystyle{ gp_1 = fh_1 }[/math], отсюда [math]\displaystyle{ g p_1 i_1 = f h_1 i_1 }[/math], где [math]\displaystyle{ i_1 }[/math] — гомоморфизм включения [math]\displaystyle{ P\to F }[/math], отсюда

[math]\displaystyle{ g = fh_1 i_1\colon P\to M }[/math]

Обратно, пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть [math]\displaystyle{ g\colon F\to P }[/math] — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм [math]\displaystyle{ id\colon P\to P }[/math] будет равен [math]\displaystyle{ id = gh }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ h\colon P\to F }[/math], так как [math]\displaystyle{ P }[/math] проективен. Любой элемент [math]\displaystyle{ F }[/math] тогда представим в виде

[math]\displaystyle{ x = hg(x) + (x-hg(x)) \in \mathrm{Im}\,h \oplus \mathrm{Ker}\,g }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\,h }[/math] изоморфно [math]\displaystyle{ P }[/math].

Свойства

[math]\displaystyle{ P }[/math] проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма [math]\displaystyle{ f\colon N\to M }[/math] индуцированный гомоморфизм [math]\displaystyle{ f_* \colon \text{Hom}(P,N) \to \text{Hom}(P,M) }[/math] является эпиморфизмом.
[math]\displaystyle{ P }[/math] проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность [math]\displaystyle{ 0\to A \to B \to C \to 0 }[/math] в точную последовательность [math]\displaystyle{ 0\to \text{Hom}(P,A) \to \text{Hom}(P,B) \to \text{Hom}(P,C) \to 0 }[/math].
Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

См. также

Литература

Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960
Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966..